Алгебра
Алгебра является одним из опорных курсов
основного общего образования: она обеспечивает изучение других дисциплин, как
естественно-научного, так и гуманитарного циклов, её освоение необходимо для
продолжения образования и в повседневной жизни. Развитие у обучающихся научных
представлений о происхождении и сущности алгебраических абстракций, способе
отражения математической наукой явлений и процессов в природе и обществе, роли
математического моделирования в научном познании и в практике способствует
формированию научного мировоззрения и качеств мышления, необходимых для
адаптации в современном цифровом обществе. Изучение алгебры обеспечивает развитие
умения наблюдать, сравнивать, находить закономерности, требует критичности
мышления, способности аргументированно обосновывать свои действия и выводы,
формулировать утверждения. Освоение курса алгебры обеспечивает развитие
логического мышления обучающихся: они используют дедуктивные и индуктивные
рассуждения, обобщение и конкретизацию, абстрагирование и аналогию. Обучение
алгебре предполагает значительный объём самостоятельной деятельности
обучающихся, поэтому самостоятельное решение задач является реализацией
деятельностного принципа обучения.
В структуре программы учебного курса
«Алгебра» для основного общего образования основное место занимают
содержательно-методические линии: «Числа и вычисления», «Алгебраические
выражения», «Уравнения и неравенства», «Функции». Каждая из этих
содержательно-методических линий развивается на протяжении трёх лет изучения
курса, взаимодействуя с другими его линиями. В ходе изучения учебного курса
обучающимся приходится логически рассуждать, использовать теоретико-множественный
язык. В связи с этим в программу учебного курса «Алгебра» включены некоторые
основы логики, представленные во всех основных разделах математического
образования и способствующие овладению обучающимися основ универсального
математического языка. Содержательной и структурной особенностью учебного курса
«Алгебра» является его интегрированный характер.
Содержание линии «Числа и вычисления» служит
основой для дальнейшего изучения математики, способствует развитию у
обучающихся логического мышления, формированию умения пользоваться алгоритмами,
а также приобретению практических навыков, необходимых для повседневной жизни.
Развитие понятия о числе на уровне основного общего образования связано с
рациональными и иррациональными числами, формированием представлений о
действительном числе. Завершение освоения числовой линии отнесено к среднему
общему образованию.
Содержание двух алгебраических линий –
«Алгебраические выражения» и «Уравнения и неравенства» способствует
формированию у обучающихся математического аппарата, необходимого для решения
задач математики, смежных предметов и практико-ориентированных задач. На уровне
основного общего образования учебный материал группируется вокруг рациональных
выражений. Алгебра демонстрирует значение математики как языка для построения
математических моделей, описания процессов и явлений реального мира. В задачи
обучения алгебре входят также дальнейшее развитие алгоритмического мышления,
необходимого, в частности, для освоения курса информатики, и овладение навыками
дедуктивных рассуждений. Преобразование символьных форм способствует развитию
воображения, способностей к математическому творчеству.
Содержание функционально-графической линии
нацелено на получение обучающимися знаний о функциях как важнейшей
математической модели для описания и исследования разнообразных процессов и
явлений в природе и обществе. Изучение материала способствует развитию у
обучающихся умения использовать различные выразительные средства языка
математики – словесные, символические, графические, вносит вклад в формирование
представлений о роли математики в развитии цивилизации и культуры.
Согласно учебному плану в 7–9 классах
изучается учебный курс «Алгебра», который включает следующие основные разделы
содержания: «Числа и вычисления», «Алгебраические выражения», «Уравнения и
неравенства», «Функции».
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
7 КЛАСС
Числа и
вычисления
Дроби обыкновенные и десятичные, переход от
одной формы записи дробей к другой. Понятие рационального числа, запись,
сравнение, упорядочивание рациональных чисел. Арифметические действия с
рациональными числами. Решение задач из реальной практики на части, на дроби.
Степень с натуральным показателем:
определение, преобразование выражений на основе определения, запись больших
чисел. Проценты, запись процентов в виде дроби и дроби в виде процентов. Три
основные задачи на проценты, решение задач из реальной практики.
Применение признаков делимости, разложение на
множители натуральных чисел.
Реальные зависимости, в том числе прямая и
обратная пропорциональности.
Переменные, числовое значение выражения с
переменной. Допустимые значения переменных. Представление зависимости между
величинами в виде формулы. Вычисления по формулам. Преобразование буквенных
выражений, тождественно равные выражения, правила преобразования сумм и
произведений, правила раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.
Свойства степени с натуральным показателем.
Одночлены и многочлены. Степень многочлена.
Сложение, вычитание, умножение многочленов. Формулы сокращённого умножения:
квадрат суммы и квадрат разности. Формула разности квадратов. Разложение
многочленов на множители.
Уравнение, корень уравнения, правила
преобразования уравнения, равносильность уравнений.
Линейное уравнение с одной переменной, число
корней линейного уравнения, решение линейных уравнений. Составление уравнений
по условию задачи. Решение текстовых задач с помощью уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными и его
график. Система двух линейных уравнений с двумя переменными. Решение систем
уравнений способом подстановки. Примеры решения текстовых задач с помощью
систем уравнений.
Функции
Координата точки на прямой. Числовые
промежутки. Расстояние между двумя точками координатной прямой.
Прямоугольная система координат, оси Ox и Oy. Абсцисса и ордината точки на
координатной плоскости. Примеры графиков, заданных формулами. Чтение графиков
реальных зависимостей. Понятие функции. График функции. Свойства функций.
Линейная функция, её график. График функции y = |x|. Графическое решение линейных
уравнений и систем линейных уравнений.
8 КЛАСС
Числа и
вычисления
Квадратный корень из числа. Понятие об
иррациональном числе. Десятичные приближения иррациональных чисел. Свойства
арифметических квадратных корней и их применение к преобразованию числовых
выражений и вычислениям. Действительные числа.
Степень с целым показателем и её свойства.
Стандартная запись числа.
Квадратный трёхчлен, разложение квадратного
трёхчлена на множители.
Алгебраическая дробь. Основное свойство
алгебраической дроби. Сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических
дробей. Рациональные выражения и их преобразование.
Квадратное уравнение, формула корней
квадратного уравнения. Теорема Виета. Решение уравнений, сводящихся к линейным
и квадратным. Простейшие дробно-рациональные уравнения.
Графическая интерпретация уравнений с двумя
переменными и систем линейных уравнений с двумя переменными. Примеры решения
систем нелинейных уравнений с двумя переменными.
Решение текстовых задач алгебраическим
способом.
Числовые неравенства и их свойства.
Неравенство с одной переменной. Равносильность неравенств. Линейные неравенства
с одной переменной. Системы линейных неравенств с одной переменной.
Понятие функции. Область определения и
множество значений функции. Способы задания функций.
График функции. Чтение свойств функции по её
графику. Примеры графиков функций, отражающих реальные процессы.
Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их
графики. Функции y = x2, y = x3, y = √x, y=|x|. Графическое решение уравнений и
систем уравнений.
9 КЛАСС
Числа и
вычисления
Рациональные числа, иррациональные числа,
конечные и бесконечные десятичные дроби. Множество действительных чисел,
действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Взаимно однозначное
соответствие между множеством действительных чисел и координатной прямой.
Сравнение действительных чисел,
арифметические действия с действительными числами.
Размеры объектов окружающего мира,
длительность процессов в окружающем мире.
Приближённое значение величины, точность
приближения. Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений.
Линейное уравнение. Решение уравнений,
сводящихся к линейным.
Квадратное уравнение. Решение уравнений,
сводящихся к квадратным. Биквадратное уравнение. Примеры решения уравнений
третьей и четвёртой степеней разложением на множители.
Решение дробно-рациональных уравнений.
Решение текстовых задач алгебраическим методом.
Уравнение с двумя переменными и его график.
Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Решение систем двух
уравнений, одно из которых линейное, а другое – второй степени. Графическая
интерпретация системы уравнений с двумя переменными.
Решение текстовых задач алгебраическим
способом.
Числовые неравенства и их свойства.
Решение линейных неравенств с одной
переменной. Решение систем линейных неравенств с одной переменной. Квадратные
неравенства. Графическая интерпретация неравенств и систем неравенств с двумя
переменными.
Квадратичная функция, её график и свойства.
Парабола, координаты вершины параболы, ось симметрии параболы.
Графики функций: y = kx, y = kx + b, y = k/x, y = x3, y = √x, y = |x| и их свойства.
Числовые последовательности и прогрессии
Понятие числовой последовательности. Задание
последовательности рекуррентной формулой и формулой n-го члена.
Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов.
Изображение членов арифметической и
геометрической прогрессий точками на координатной плоскости. Линейный и
экспоненциальный рост. Сложные проценты.